Род Достоевских берёт своё начало от боярина Данилы Ивановича Иртищева (Ртищева, Ртищевича, Иртищевича, Артищевича), которому 6 октября 1506 года было пожаловано имение «Достоев» в Поречской волости Пинского уезда, к северо-западу от Пинска.
Исследователи происхождения фамилии практически уверены, что все Достоевские являются потомками Данилы Иртищева. Согласно местным легендам, название «Достоево» произошло от пол. dostojnik — сановник, приближённый государя. «Достойниками» с некоторой насмешкой называли жителей селения, из которых набирали княжескую обслугу. Подразумевалось, что эти люди были «достойны» данной службы. В Брестской области Беларуси сохранилось село Достоево. Предком Данилы Ивановича Ртищева, по мнению исследователей, являлся упоминаемый в исторических источниках татарин Аслан-Челеби-мурза, который ещё в 1389 году покинул Золотую Орду и был крещён в православие московским князем Дмитрием Донским. Сына этого татарина прозвали Широким Ртом, а его потомки стали Ртищевыми. Герб Ртищевых, на котором были изображены полумесяц, шестиугольная звезда и пара вооружённых татар, указывает на неправославное происхождение рода.
Окончательно фамилия «Достоевский» закрепилась за внуками Данилы Ивановича, потомки которых со временем становятся типичной служилой шляхтой. Пинская ветвь Достоевских на протяжении почти двух веков упоминалась в различных документах, но со временем интегрировалась польско-литовским государством, утратив дворянство. Во второй половине XVII века род перебирался на Украину. В это же время резко сократилось количество упоминаний фамилии в исторических документах. Исследователи не обнаружили однозначной связи писателя с основателем рода Данилой Иртищевым. Достоверно известно только то, что прямые предки писателя в первой половине XVIII века жили на Волыни. Для преодоления генеалогического разрыва в несколько поколений исследователи использовали метод реконструкции. Даже о деде писателя, Андрее Григорьевиче Достоевском, нет точных данных. Известно, что он родился около 1756 года на Волыни в семье мелкопоместного шляхтича. В 1775 году вместе с отцом и братьями перебрался в Брацлавское воеводство, которое после второго раздела Речи Посполитой вошло в состав Российской империи. С 1782 года Андрей Достоевский был священником в селе Войтовцы. 

Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/Достоевский,_Фёдор_Михайлович